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Maths fi: Equivalence de capitaux

Formules maths fi

1) VALEUR ACQUISE PAR UN CAPITAL

Soit C un capital placé pendant t années au taux annuel i. On appelle valeur acquise par ce capital, la quantité Ct = C+ It , somme du capital et des intérêts produits.
 Si t est entier, Ct est donnée par l’une des deux formules du chapitre précédent:

Ct = C ( 1 + it) à intérêts simples

Ct = C ( 1 + i )t à intérêts composés

•• Si t n’est pas entier, on peut le convertir en années, mois, jours moyennant la convention simplificatrice que, dans n’importe quel mois, il y a 30 jours.

Si donc t années correspondent à n années entières, m mois et p jours, on a:

* à intérêts simples:

Ct = C ( 1 + ni + mi/12 + pi/360)

 [i/12] est le taux mensuel proportionnel au taux annueli, la valeur [i/360] représentant le taux journalierproportionnel au taux annuel i.

Ct = C ( 1 + (n + m/12 + p/360) i), Ct = C ( 1 + ti)

à intérêts composés:

Ct = C ( 1 + i )( 1 + i )m/12 ( 1 + i)p/360

où [( 1 + i )1/12 - 1] est le taux mensuel équivalent au taux annuel i,et [ 1 + i )1/360 - 1] le taux journalier équivalent au taux annuel i.

Ct = C ( 1 + i )(n + m/12 + p/360 ) , Ct = C ( 1 + i )t

Ces deux formules généralisent celles du chapitre précedent.

 

2) VALEUR ACTUELLE
On suppose, dans ce chapitre, que les calculs se font à intérêts composés, seul cas intéressant dans ce type de problème. Considérons un capital C0 à l’instant t = 0, un capital Ct à l’instant > 0

Si la valeur acquise à l’instant t par C, placé au taux annuel i, est égale à Ct , on dit que Cest la valeur actuelle de Ct.

Ct = C( 1 + i )=> CCt ( 1 + i )-t

C<=> C-----Valeur actuelle <=> Valeur acquise

 

3) EQUIVALENCE DE CAPITAUX

 On considère deux capitaux, placés au taux annuel i, (une origine des temps fixée)
Cà la date t1 (années), Cà la date t2 (années)

On dit que ces deux capitaux (ou placements) sont équivalents s'il existe une date t en laquelle ils ont la même valeur acquise, donc:

C( 1 + i )t-t1 = C( 1 + i )t-t2 ou bien

C( 1 + i )-t1 C( 1 + i )-t 2

Chacune de ces deux quantité est, selon le cas, une valeur actuelle ou une valeur acquise.

t---------t1---------t2--- on aura 2 valeurs actuelles

t1--------t----------t2--- une valeur actuelle et une valeur acquise

t1--------t2---------t---- deux valeurs acquises

On constate que, si deux capitaux sont équivalents à une certaine date, ils sont équivalents en toute autre date; donc pour établir une équivalence, ou comparer des capitaux on aura le choix dans une optique de minimiser le nombre de calculs.

 

4) CONCLUSION

Au niveau des formules, il n’y a pas lieu de distinguer une valeur acquise d’une valeur actuelle à condition de considérer l’exposant t comme une date non nécéssairement positive; on retiendra le résultat comme suit;

Un capital vaut Co à la date 0, sa valeur à la date t est donnée par la formule

Ct = C( 1 + i )t

où i est le taux d’intérêt par période et t, positif, négatif ou nul est mesuré, à partir de 0, en adoptant cette période comme unité.

 

http://www.madariss.fr/eco/egen/pmf_c2.htm

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