Maths financiers:Les intérêts

Les intérêts simples et les intérêts composés

Définition

Un capital produit des intérêts simples si les intérêts sont uniquement calculés sur ce capital.
Un capital produit des intérêts composés si à la fin de chaque période, les intérêts générés sont ajoutés au capital pour produire de nouveaux intérêts. On dit aussi que les intérêts sont capitalisés.

Le taux proportionnel et le taux équivalent

Les taux donnés dans le paragraphe précédent sont des taux annuels. Pour calculer des intérêts sur une durée inférieure, on a besoin de déterminer le taux de la période ou le taux périodique.

Définition du taux proportionnel

Définition du taux équivalent

Le taux périodique est un taux équivalent (ou actuariel) si ce taux appliqué à un calcul d'intérêts composés sur toutes les périodes de l'année donne le même résultat que le taux annuel.

Exemple

Un placement de 1.000 € sur 6 mois au taux annuel de 12 %.
• Avec des intérêts simples, le taux périodique proportionnel sera de 0,12  x 6 mois / 12 mois, soit 6 %. Le montant des intérêts sera alors de 1.000 x 6 / 100, soit 60 €.
Pour une durée d'un an, les intérêts seront de 60 € × 2 = 120 €.
• Avec des intérêts composés, le taux périodique équivalent sera de (1,12^{6 mois / 12 mois} - 1), soit 5,83 %. Le montant des intérêts sera de 1.000 x 5,83 / 100, soit 58,30 €.
Sur une durée d'un an, les intérêts seront de 58,30 + (1.058,30 × 5,83 / 100) = 120,00 €.

Les intérêts simples

Le capital produit des intérêts qui ne sont pas incorporés au capital dans la période considérée pour produire eux-mêmes des intérêts.

• Les intérêts sont proportionnels au temps, c’est-à-dire à la durée écoulée entre la date de placement et la date d’échéance .
• L’année compte pour 360 jours soit 12 mois de 30 jours .
• Dans le comptage des jours, il faut négliger le jour du placement et compter le jour de l’échéance.
• Les mois comptent pour le nombre exact de jours.
• Le taux est en principe annuel mais il peut être mensuel, trimestriel...
• La valeur acquise (capitalisation) correspond au total de la somme disponible en fin de période. Elle est égale au capital + les intérêts.

Exemples :

• M. Pierre place une somme de 200 € sur un an au taux annuel de 2,25 %. A l’échéance, quel est le montant des intérêts ? Quelle est la valeur acquise de ce capital au bout d’un an ?
• Si M. Pierre avait placé cette somme le 15 juin à échéance le 31 décembre, quel aurait été le montant des intérêts ?
• Une traite de 890 €, échéant le 10 septembre, est escomptée à 12 % le 5 mai. Quel est le montant des intérêts ?
• Votre client passe une commande de 2 500 €. Il demande un paiement à 60 jours. Quel est le coût pour l’entreprise sachant que le taux d’escompte est de 12 % ? Quel serait le taux de remise équivalent ?

 Les intérêts composés

Les intérêts s’ajoutent au capital en fin de période pour porter eux-mêmes intérêts.
n Formule de calcul de la valeur acquise (capitalisation) en fin de période : 
soient C le capital ; t le taux d’intérêts ; n le nombre de période.

Exemple : Une somme de 10 000 € est placée sur 4 ans au taux de 7 % en intérêts composés. 
Compléter le tableau ci-dessous et retrouver la valeur acquise au bout de 4 ans.

 
Calcul par la formule : ........................................................................................


Valeur actuelle (actualisation) en intérêts composés : c’est la valeur à l’époque actuelle, d’un capital dont l’échéance est à long terme. Il s’agit donc de trouver la valeur actuelle d’une somme qui devrait être payée ou encaissée dans un an, deux an... 

Exemple : Quelle est la valeur actuelle au taux de 7,5 % d’une somme de 2 000 € payable dans
4 ans ?


Calcul par la formule : ........................................................................................

Significations :

• c’est la somme qui serait versée si l’emprunteur décidait de rembourser à l’époque 0.
• c’est aussi la somme qu’il faudrait placer à l’époque 0 pour avoir une valeur acquise de 2 000 € au bout de 4 ans.

L’emprunt par amortissement constant

Les remboursements effectués chaque année (annuité) sont composés du capital remboursé (amortissement) + les intérêts.

L’emprunt par amortissement constant a des remboursements de capital identiques chaque année. Les intérêts sont calculés sur le capital restant du. Les annuités sont donc variables chaque année.

Exemple : emprunt de 5 000 € sur 4 ans au taux de 5 %. Date d’échéance le 01/01.
Compléter le tableau.

L’emprunt par annuité constante

Les remboursements effectués chaque année ont un montant constant.
Formule de l’annuité constante : C x (t/(1 - (1+t) ^-n))

Exemple : compléter le tableau ci-dessous correspondant à un emprunt de 5 000 € sur 4 ans au taux de 5%.

Calcul de l’annuité constante (arrondi au franc inférieur) :